歲月麻醉: 12 個標準差的境界

生物醫學的統計，描述正常分佈所涵蓋的面積，一般只用到1.96標準差，或者簡化為2標準差，大約是95%，通常看到的所謂95%信賴區間 (95% CI)即是用這樣的概念！個人看過使用3個標準差的地方，是在計算腦脊髓液密度與注射局麻藥物密度比的Baricity，為了要得到絕對的高比重溶液，因此將高於腦脊髓液平均密度的3個標準差（99.7%)，當作上限，而商業化的高比重藥物，通常透過加入葡萄糖來達成，又遠高於此頂標，以確保『絕對』的高比重。

製造業的良率，也帶入標準差的觀念，但為了激烈的商業競爭，品質的控管是精益求精，永無止境，目前業界的標準是6 sigma，也就是6個標準差，是1986年由摩托羅拉公司的比爾·史密斯提出的概念，亦即代表每百萬個產品，只允許3.4個瑕疵品，也就是99.99966%；各位可以想像，12個標準差是準確到小數點第幾位？

Iphone，ipod系列推出後，風行世界，所向披靡，儼然成為科技演化的另一里程碑，銷售量成幾何曲線上升，ipod一億，而iphone則突破四千萬隻，這樣高的銷售量，顯然會有一定數量的瑕疵品，其中最致命的瑕疵是爆炸，問題出在鋰電池！

中研院研發一種奈米技術，可以防止鋰電池的爆炸，這項發明得到2009年「全球百大科技獎」。研究人員花三年多時間找到最佳組合，當鋰電池遇高熱或外力撞擊、穿刺時，STOBA材料即刻產生閉鎖效應，避免電池短路，阻斷電化學作用，防制電池持續高溫燃燒及爆炸。因為這項材料技術的發明，使得以後電池的良率得以從 6 sigma直接跳到12 sigma，據說，目前業界採取這個標準的公司只有GE（美國奇異）一家。

常態分佈

主條目：常態分佈

連續隨機變數的機率密度函數如果是如下形式，

$f(x) = \frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^\left(-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)$

那麼這個連續分佈被稱之為常態分佈，或者高斯分佈。其密度函數的曲線呈對稱鐘形，因此又被稱之為鐘形曲線，其中μ是平均值，σ是標準差。常態分佈是一種理想分佈，許多典型的分佈，比如成年人的身高，汽車輪胎的運轉狀態，人類的智商值（IQ），都屬於或者說至少接近常態分佈。同樣按照連續分佈的定義，正態機率密度函數具有和普通機率密度函數類似的性質：

$\int_{-\infty}^\infty f(t) \, {\rm d}t = 1$
$F(x) =\frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^\left(-\frac {1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2\right) \, {\rm d}t$

如果給出一個常態分佈的平均值μ以及標準差σ，可以根據上面的第二個公式計算出任一區間的機率分佈情況。但是如上的計算量是相當龐大的，沒有計算機的輔助基本是不可能的，解決這一問題的方法是藉助z-變換以及標準常態分佈表格 ( z-表格)。
中間值μ = 0以及標準差σ = 1的常態分佈被稱之為標準常態分佈，其累積分佈函數是

File:Z-transformation.png

z-變換示意圖

$\Phi(z)=\frac 1{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^z e^{-\frac 12 t^2} \mathrm{d}t$