歲月麻醉

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12 個標準差的境界


生物醫學的統計,描述正常分佈所涵蓋的面積,一般只用到1.96標準差,或者簡化為2標準差,大約是95%,通常看到的所謂95%信賴區間 (95% CI)即是用這樣的概念!個人看過使用3個標準差的地方,是在計算腦脊髓液密度與注射局麻藥物密度比的Baricity,為了要得到絕對的高比重溶液,因此將高於腦脊髓液平均密度的3個標準差(99.7%),當作上限,而商業化的高比重藥物,通常透過加入葡萄糖來達成,又遠高於此頂標,以確保『絕對』的高比重。


製造業的良率,也帶入標準差的觀念,但為了激烈的商業競爭,品質的控管是精益求精,永無止境,目前業界的標準是6 sigma,也就是6個標準差,是1986年由摩托羅拉公司的比爾·史密斯提出的概念,亦即代表每百萬個產品,只允許3.4個瑕疵品,也就是99.99966%;各位可以想像,12個標準差是準確到小數點第幾位?

Iphone,ipod系列推出後,風行世界,所向披靡,儼然成為科技演化的另一里程碑,銷售量成幾何曲線上升,ipod一億,而iphone則突破四千萬隻,這樣高的銷售量,顯然會有一定數量的瑕疵品,其中最致命的瑕疵是爆炸,問題出在鋰電池!


中研院研發一種奈米技術,可以防止鋰電池的爆炸,這項發明得到2009年「全球百大科技獎」。研究人員花三年多時間找到最佳組合,當鋰電池遇高熱或外力撞擊、穿刺時,STOBA材料即刻產生閉鎖效應,避免電池短路,阻斷電化學作用,防制電池持續高溫燃燒及爆炸。因為這項材料技術的發明,使得以後電池的良率得以從 6 sigma直接跳到12 sigma,據說,目前業界採取這個標準的公司只有GE(美國奇異)一家。


常態分佈

主條目:常態分佈
連續隨機變數的機率密度函數如果是如下形式,
f(x) = \frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^\left(-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)
那麼這個連續分佈被稱之為常態分佈,或者高斯分佈。其密度函數的曲線呈對稱鐘形,因此又被稱之為鐘形曲線,其中μ是平均值,σ是標準差。常態分佈是一種理想分佈,許多典型的分佈,比如成年人的身高,汽車輪胎的運轉狀態,人類的智商值(IQ),都屬於或者說至少接近常態分佈。同樣按照連續分佈的定義,正態機率密度函數具有和普通機率密度函數類似的性質:
  • \int_{-\infty}^\infty f(t) \, {\rm d}t = 1
  • F(x) =\frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^\left(-\frac {1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2\right) \, {\rm d}t
如果給出一個常態分佈的平均值μ以及標準差σ,可以根據上面的第二個公式計算出任一區間的機率分佈情況。但是如上的計算量是相當龐大的,沒有計算機的輔助基本是不可能的,解決這一問題的方法是藉助z-變換以及標準常態分佈表格 ( z-表格)。
中間值μ = 0以及標準差σ = 1的常態分佈被稱之為標準常態分佈,其累積分佈函數是
File:Z-transformation.png
z-變換示意圖
 \Phi(z)=\frac 1{\sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^z e^{-\frac 12 t^2} \mathrm{d}t
將普通形式的常態分佈變換到標準常態分佈的方法是
 z=\frac{x-\mu}{\sigma}
例如,已知一常態分佈的μ = 5,σ = 3,求區間機率值P (4<X\le 7) ?計算過程如下,
\frac{4-5}{3} < Z \le \frac{7-5}{3}
-1/3 < Z \le 2/3
 P (4< X\le 7) =P (-1/3 < Z \le 2/3)= \Phi(2/3)-\Phi(-1/3)=0.7475-0.3694=0.3781
其中Φ(z)值通過查z-表格獲得。


玩一下線上計算機:這個只能玩到小數點第16位,大約是8個sigma.

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